Многочлен

[nsg21]

 У нас тут выключали свет и интернет из-за ледяного шторма. Свет, к счастью, почти сразу вернули, а вот интернет подавали (..ют?) с перебоями.

 Возвращаясь к многочлену x^3-3x+1, если попытаться найти его корни тригонометрическим способом, то окажется что они равны 2cos((2+6n)pi/9), где n=0,1,2. Какому-нибудь косинусу с каким-нибудь множителем равен корень любого многочлена, просто в этом случае и множитель и угол особенно просто выражаются. Как это связано с тем что любые два корня рационально зависят от оставшегося и будет ли у другого многочлена с этим же свойством красиво выглядящее тригонометрическое решение пока непонятно.

Comments

[ichthuss]

Любая степень синуса/косинуса выражается линейно через первую степень синуса/косинуса кратных углов. В частности, квадрат - через функцию двойного угла. Двойной угол для [1,4,7] * (2*pi/9) будет [2,8,14]* (2*pi/9), с учетом симметрии косинуса это эквивалентно [7, 1, 4] * (2*pi/9), т.е. квадрат любого из этих косинусов выражается линейно через другие косинусы из этого набора. Отсюда можно:
- написать уравнение, корнями которого являются все три косинуса
- написать квадратные полиномы, позволяющее из одного косинуса получить другие.

[nsg21]

Очень интересно, спасибо. Это объясняет связь между углом 2pi/9 и рациональной зависимостью между корнями, по крайней мере в одну сторону. Но всю картинку у меня пока не щёлкнуло, надо ещё думать.